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Somme et variations des suites arithmétiques

IV.Comment représenter une suite arithmétique

La répresentation d’une suite arithmétique se fait dans un repère, où n est mis en abscisse et Un en ordonnée. On place ainsi tous les points de coordonnées (n, Un) en faisant varier n .

Par exemple :
- si (Un) est une suite arithmétique avec Uo = 2 et r = 4 :

- si (Vn) est une suite arithmétique avec Uo = 2 et r = -3 :

On remarquera que :
- les points d’une suite arithmétiques sont alignés.
- si r > 0 la suite est croissante, et si r < 0 la suite est décroissante.

V. Comment calculer la somme d’une suite arithmétique

Le but ici est de calculer la somme d’une suite arithmétique que l’on appelle Sn. On note Sn = Uo+U1+U2+...+ Un (il se peut que Sn soit égale à U1+U2+...+Un)

Dans le cas d’une suite arithmétique, nous avons Un=Uo+nr donc

  • Sn = Uo +U1+ ... +Un-1+Un
  • Sn = Uo + Uo + r + ... +Uo+(n-1)r+Uo+nr
  • Sn = Uo+nr + Uo +(n-1)r + ...+ Uo+r+Uo (si on l’écrit dans l’autre sens)

En additionnant les deux lignes précédentes , on trouve que :

  • 2Sn = (2Uo+nr)+(2Uo+nr)+...+(2Uo+nr)+(2Uo+nr (n+1 fois !) donc
  • 2Sn = (n+1)(Uo+Uo+nr)
  • Sn=(n+1)(Uo+Un)/2

On retiendra que
Sn=(nombre de termes)(premier terme + dernier terme)/2

Exemple : Calculer 10+15+20+....+520

La suite arithmétique (Un) est de premier terme Uo=10 et de raison r=5.
Combien y-a-t-il de termes jusqu’à 520 ?

Trouvons le rang n tel que Un=520 :

  • Uo+nr = 520
  • 10+5n=520
  • 5n=510
  • n=102
  • donc U102=520

Donc j’utilise la formule pour calculer
S102=(nombre de termes)(premier terme + dernier terme)/2
en remarquant que si le dernier terme est U102 et que le premier terme est Uo alors il y a 103 termes !

  • S102 = 103 (10+520)/2 = 27295

VI. Comment étudier les variations d’une suite arithmétique

Pour étudier les variations d’une suites arithmétique, il suffit de connaître la raison que l’on obtient par différence de deux termes consécutifs. En effet puisque

  • Un+1=Un+r
  • Un+1-Un=r

alors
- si r est positive , Un+1-Un > 0 pour tout n et donc Un+1 > Un pour tout n. Donc (Un) est croissante si r est positive.
- si r est négative, on en déduit pour tout n que Un+1 < Un. Donc (Un) est décroissante si r est négative
- si r est égale à 0, alors Un+1 = Un , (Un) est constante.

VII. Limites des suites aritmétiques

De la même façon, la raison nous donnera le comportement de la suite (Un) en +oo.

- si la raison est positive, alors si n tend vers +oo, alors nr tend vers +oo et donc (Un) tend vers +oo.
- si la raison est négative, si n tend vers +oo, alors nr tend vers -oo et donc (Un) tend vers-oo.


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par ffred - le 15 mars 2004 -


  • > Somme et variations des suites arithmétiques, le 28 mars 2004

    est-ce qu’il existe plusieurs manière de faire la somme d’une suite arithmétique



    • > Somme et variations des suites arithmétiques, le 8 juin 2005, par melmene

      bonjour, j’étais en train de réviser mon bac de maths et me posais cette question : quand la suite est géométrique, la courbe est exponentielle, et quand elle est arithmétique, comment s’appelle la courbe ? linéaire ? merci à bientôt <<—melmene—>>



      • > Somme et variations des suites arithmétiques, le 8 juin 2005, par M.G.

        bonsoir. avec Un = U0 +nr, tu as une fonction affine : les points sont sur une droite. bon courage



    • > Somme et variations des suites arithmétiques, le 9 septembre 2005

      bonjours , j aimerai savoir comment représenter une fonction sur un pc . merci



      • > Somme et variations des suites arithmétiques, le 2 avril 2006, par Marie-Pierre

        Bonjour et bravo pour votre site !

        Est-il possible d’avoir un exemple qui illustre par exemple la détermination du sens de variation d’une suite arithmétique SVP ?

        Mon souci : je dois étudier le sens de variation de cette suite : Un = 3 - 2n je suppose qu’il s’agit d’une suite arithmétique mais pas sure qd mme (je crois que oui car il y a un moins et pas multiplié ) mais ne reconnais pas u(0) et r.

        Merci de votre aide et à tres bientot j’espère

        Marie-Pierre





        • > Somme et variations des suites arithmétiques, le 4 avril 2006

          Bonsoir.

          Un exemple ici :

          http://www.infx.info/quidnovi/voir_...

          :P





        • > Somme et variations des suites arithmétiques, le 5 novembre 2006, par Zidane !

          Un = 3-2n Pour trouver U0 tu remplaces n par 0 : U0 = 3-2*0 = 3. Pour avoir une idée du comportement de cette suite, rien ne t’empêches de calculer ses premiers termes : U0=3 U1=1 U2=-1 U3=-3 U4=-5 U5=-7 ... Une idée ? ça saute aux yeux maintenant ! C’est une suite arithmétique de 1er terme U0=3 et de raison -2 ! Elle est sous la forme Un =(1er terme) + (la raison)*n !!! Voilà ! Merci, de rien !



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