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- 2nde : Fonctions, calculs algébriques

Correction problème : le lancer de balle et et ses rebonds.

I Etude du lancer au premier rebond, la fonction f définie par f(x) =-0,05x2 +2x +25
a) Montrer que f(x) = -0,05(x + 10 )(x - 50 )

on a

b) Résoudre sur IR, f(x) = 0 et en déduire le temps t1 du premier impact sur le sol.


Le premier impact à lieu à 50 secondes donc t1=50 s

c) Tracer la courbe de la fonction f sur [ 0 ; 50 ] en calculant les coordonnées des points toutes les 5 secondes.

(Voir Courbes )

d) Graphiquement, indiquer la hauteur maximale que le balle a atteint au cours de cette période, et le temps correspondant .

Le maximum de f sur [0 ; 50 ] est 45 obtenu pour x =20 donc la hauteur maximale est de 45 mètres obtenue au bout de 20 secondes.

e) Graphiquement, résoudre f(x) supérieure ou égale 25 et expliquer par une phrase à quoi cela correspond dans l’étude.

On trace la droite d’équation y=25 ( paralèlle à l’axe des abscisses ) et on regarde sur la courbe sur quel intervalle la courbe de f est au dessus ou égale à cette droite . On trouve

II Etude du premier rebond, la fonction g définie par g(x) = -0,1(x-62,5)2+15,625

a) Trouver a tel que
g(x) = -0,1 [ (x - 62,5)2 - (a )2 ]


b) Factoriser g(x) à partir de la formule précédente en remplaçant a par sa valeur.



c) Par le calcul, résoudre g(x) = 0 et en déduire le temps t2 du deuxième impact sur le sol.



Donc le temps t2 du deuxième impact est de 75 secondes.

d) A partir d’une formule bien choisie de g(x) , indiquer la hauteur maximale du premier rebond ainsi que le temps correspondant.

A partir de la forme canonique de g(x)= -0,1 (x - 62,5)2 + 15,625 , on déduit que la hauteur maximale est de 15,625 mètres obtenue pour x=62,5 secondes.


e) Tracer la courbe de la fonction g sur [ 50 ; 75 ] en calculant les coordonnées des points toutes les 5 secondes sans oublier la hauteur maximale.

(Voir Courbes )


III Etude du deuxième rebond , la fonction h définie par h(x) = -0,1(x - 75)(x - 87,2)

a) Par le calcul, réaliser
le tableau de signes de la fonctions h sur IR.



b) Résoudre h(x) supérieur ou égale à 0 à partir du tableau de signes et indiquer le temps t3 du troisième impact.

A partir du tableau de signes, on constate que f(x) est supérieure à 0 pour x appartenant à [ 75; 87,2 ]. Le temps t3 du troisième impact est de 87,2 secondes .

c) Montrer que h(x) = -0,1( x - 81,1 )2 + 3 ,721

En developpant la forme factorisée de h(x) donnée dans l’énoncé, on obtient :


Puis en developpant la forme recherchée , on trouve :


d) En déduire la hauteur maximale de la balle lors du deuxième rebond et le temps correspondant.

En utilisant la forme cananique de la question précédente, on constate que la hauteur maximale pour cette période est de 3,721 mètres au bout de 81,1 secondes.

e) Tracer la courbe de la fonction h sur [ 75 ; 87,2 ] en calculant les coordonnées des points toutes les 5 secondes, sans oublier la hauteur maximale.
(Voir courbes )

Courbes des trois fonctions



V Généralisation de l’étude :
Réaliser
le tableau de variations de ƒ sur [ 0 ; 87,2 ]


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par ffred - le 29 novembre 2002 -


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