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D.S arithmétique, complexes, suites, étude de fonction exponentielle. (Terminale S)

Devoir surveillé Terminale S :
- arithmétique
- complexes : rotation, images, interprétations géométriques...
- exercice Vrai ou Faux
- suites : génération, représentation graphique, récurrence, convergence
- fonction exponentielle : étude, changement de variable et second degré, courbe, primitive.


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L’usage de la calculatrice est autorisé.
La qualité et la précision de la rédaction ainsi que la propreté seront prises en compte lors de l’appréciation de la copie.



Exercice I ( pour les élèves “spécialistes” )

On considère deux entiers naturels, non nuls, x et y premiers entre eux.
On pose et .
1/ a) Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et S.
b) En déduire que S et P sont premiers entre eux.
c) Démontrer que les nombres P et S sont de parités différentes (l’un pair et l’autre impair).
2/ Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant.
3/ Trouver tous les nombres premiers entre eux x et y tels que : .
4/ Déterminer les deux entiers naturels a et b vérifiant les conditions suivantes :
et avec
(On pourra utiliser et avec x et y premiers entre eux.)

Exercice I ( pour les élèves “non spécialistes” )
Le plan est rapporté au repère orthonormal ( unité graphique : 2 cm ).
On considère les points A, B et C d’affixes respectives , et .
1/ Placer ces points sur un dessin.
2/ a) Vérifier que .
b) En déduire la nature du triangle ABC.
c) Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. Tracer le cercle .
3/ On pose .
a) Etablir que l’ensemble des points M d’affixe z qui vérifient est un cercle de centre d’affixe -2. Préciser son rayon. Construire .
b) Vérifier que les points A et B sont éléments de .
4/ On appelle la rotation de centre A et d’angle .
a) Quelles sont les images des points A et B par la rotation ?
b) Construire l’image C’ du point C par la rotation . Calculer l’affixe de C’.
c) Déterminer l’image du cercle par .


Exercice II ( pour tous les élèves )

Répondre aux questions suivantes par VRAI ou FAUX.
Si la réponse est VRAI alors une justification est attendue.
Si la réponse est FAUX alors un contre-exemple peut suffire.
1/ Pour tous nombres réels a et b , .
2/ Pour tous nombres réels a et b , .
3/ Il existe un nombre réel a et un nombre réel b tels que .
4/ Les courbes représentatives des fonctions et ont la même tangente au point .
5/ La fonction définie sur par a pour primitive sur la fonction F telle que .



Exercice III ( pour tous les élèves )

On considère la suite numérique définie sur par :
1/ Soit la fonction f définie sur par .
a) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur .
b) Justifier que pour tout , .
2/ On suppose dans cette question ( et uniquement dans celle-ci ) que .
a) Calculer et .
b) Dans un repère orthonormal ( unité graphique : 8 cm ), tracer sur l’intervalle , la droite d d’équation et la courbe P représentative de la fonction f.
c) Utiliser d et P pour construire sur l’axe des abscisses les points d’abscisses respectives .
3/ On considère a réel quelconque tel que .
a) Montrer par récurrence que pour tout entier n , .
b) Montrer que la suite est croissante.
c) Que peut-on en déduire ?
4/ On suppose à nouveau dans cette question que .
On considère la suite numérique définie sur par .
a) Exprimer en fonction de .
b) En déduire que pour tout entier n, .
c) Déterminer la limite de la suite puis celle de la suite .




Exercice IV ( pour tous les élèves )

On considère la fonction f définie sur par .
1/ Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.
2/ Etudier les variations de f sur .
3/ On désigne par C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthogonal.
a) Déterminer les coordonnées du ( ou des ) point(s) d’intersection de C avec l’axe des abscisses ( on pourra procéder à un changement de variable ...)
b) Tracer la courbe C.
4/ Déterminer l’ensemble des primitives de f sur .

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par M.G. - le 26 janvier 2005 -


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