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Devoir surveillé sur une étude de fonction exponentielle pour les élèves de Terminale S


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L’usage de la calculatrice est autorisé.
La qualité et la précision de la rédaction ainsi que la propreté seront prises en compte lors de l’appréciation de la copie.



Exercice
On considère la fonction f définie sur par : .
Le graphique ci-après est la courbe représentative de cette fonction telle que l’affiche une calculatrice dans un repère orthonormal :


Conjectures
A l’observation de cette courbe, quelle conjecture pensez-vous pouvoir faire concernant :
a) le sens de variation de f sur ?
b) la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses ?
Dans la suite du problème, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les compléter.

Partie A : contrôle de la première conjecture
1/ Calculer pour tout réel x et montrer que g est la fonction définie sur par : .
2/ Etude du signe de g(x) pour x réel.
a) Calculer la limite de quand x tend vers .
On admet que la limite de quand x tend vers vaut -1.
b) Calculer et étudier son signe suivant les valeurs de x.
c) En déduire le sens de variation de la fonction g puis dresser son tableau de variation.
d) Montrer que l’équation possède une unique solution dans . On note cette solution. Montrer que .
e) Déterminer le signe de suivant les valeurs de x.
3/ Sens de variation de la fonction f sur .
a) Etudier suivant les valeurs de x le signe de .
b) En déduire le sens de variation de la fonction f.
c) Que pensez-vous de votre première conjecture ?

Partie B : Contrôle de la deuxième conjecture
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal .
On se propose de contrôler la position de la courbe C par rapport à l’axe des abscisses.
1/ Montrer que ( utiliser pour ce faire le fait que ).
2/ On considère la fonction h définie sur l’intervalle par : .
a) Calculer pour , puis déterminer le sens de variation de h sur .
b) En déduire un encadrement de .
3/ a) Montrer que l’équation admet deux solutions. Déterminer la solution réelle . On admettra que la deuxième solution a pour valeur approchée 0,31.
b) Préciser alors la position de la courbe C par rapport à l’axe des abscisses.
c) Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ?

Partie C : Tracé de la courbe
Compte tenu des résultats précédents, on se propose de tracer la partie de C correspondant à l’intervalle dans le repère orthogonal avec les unités suivantes :
Sur l’axe : 1 cm représentera 0,05.
Sur l’axe : 1 cm représentera 0,001.
1/ Recopier le tableau suivant et compléter celui-ci à l’aide de la calculatrice en indiquant les valeurs approchées sous la forme n. ( n entier relatif )
x

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

f(x)

                         


2/ Tracer alors dans le repère choisi.


Bonus
On considère la suite de nombres réels définie par : .
Démontrer que la suite converge vers .

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par M.G. - le 18 novembre 2004 -


  • > Devoir surveillé sur une étude de fonction exponentielle pour les élèves de Terminale S , le 31 janvier 2005, par Zebulon

    Tres bon devoir Merci pour votre site c’est une veritable aide Continuez on a besoin de vous



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