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Somme et variations des suites géométriques

IV.Comment représenter une suite géométrique

La répresentation d’une suite géométrique se fait dans un repère, où n est mis en abscisse et Un en ordonnée. On place ainsi tous les points de coordonnées (n, Un) en faisant varier n .

Par exemple :
- si (Un) est une suite géométrique avec Uo = 1 et r = 2 :

- si (Vn) est une suite géométrique avec Vo = 1 et r = -2 :

- si (Wn) est une suite géométrique avec Wo = 10 et r = 0,5 :

- si (Pn) est une suite géométrique avec Po = 10 et r = -0,5 :

On remarquera que :
- les points d’une suite géométrique ne sont pas alignés.
- si r <0 la suite la suite n’est pas monotone (ni croissante, ni décroissante)

V. Comment calculer la somme d’une suite géométrique

Le but ici est de calculer la somme d’une suite géométrique que l’on appelle Sn. On note Sn = Uo+U1+U2+...+ Un (il se peut que Sn soit égale à U1+U2+...+Un)

Dans le cas d’une suite géométrique, nous avons Un=Uo.qn donc

  • Sn = Uo +U1+ ... +Un-1+Un
  • q.Sn = U1 + U2+ ... +Un+Un+1
  • Sn-q.Sn = Uo + U1 -U1 +U2 -U2 +....+Un-Un-Un+1
  • (1-q)Sn =Uo-Un+1
  • donc si q est différent de 1 , on a :
  • Sn= (Uo-Un+1)/(1-q)
  • Sn = Uo ( 1 - qn+1)/(1-q)

On retiendra que
Sn=(premier terme)(1 - (raison)nbre de termes)/(1-(raison))

Exemple : Calculer 2 - 6+ 18 +....+118098

La suite géométrique (Un) est de premier terme Uo=2 et de raison r=-3.
Combien y-a-t-il de termes jusqu’à 118098 ?

Trouvons le rang n tel que Un=118098 :

  • Uo.qn = 118098
  • 2x(-3)n=118098
  • (-3)n= 59049

La difficulté ici, est que nous n’avons pas "encore" d’outil pour trouver directement la valeur de n. A l’aide de la calculatrice, on "tente" plusieurs valeurs pour obtenir le résultat : (-3)8 = 6561, (-3)10 = 59049.

  • donc U10=118098

Donc j’utilise la formule pour calculer
S10=(premier terme)(1-qnbre de termes)/(1-q)
en remarquant que si le dernier terme est U10 et que le premier terme est Uo alors il y a 11 termes !

  • S10 = 2 (1- (-3)11)/(1-(-3)) = 88574

VI. Comment étudier les variations d’une suite géométrique

Pour étudier les variations d’une suite géométrique de premier terme positif, il suffit de connaître la raison que l’on obtient par quotient de deux termes consécutifs. En effet puisque

  • Un+1=Unxq
  • Un+1/Un=q

alors
- si q est supérieure à 1 , Un+1/Un > 1 pour tout n et donc Un+1 > Un pour tout n. Donc (Un) est croissante si q est supérieure à 1.
- si q est comprise entre 0 et 1, on en déduit pour tout n que Un+1 < Un. Donc (Un) est décroissante si q est comprise entre 0 et 1
- si q est négatif, alors (Un) n’est pas monotone car les termes sont successivement positifs et négatifs.

Attention : si le premier terme est négatif, il faut raisonner différemment .

VII. Limites des suites géométriques

De la même façon, la raison nous donnera le comportement de la suite (Un) en +oo.

- si la raison est supérieure à 1, alors si n tend vers +oo, alors qn tend vers +oo et donc (Un) tend vers +oo si Uo est positif, et vers -oo si Uo est négatif.
- si la raison est comprise entre -1 et 1 (non compris), si n tend vers +oo, alors qn tend vers 0 et donc (Un) tend vers 0.
- si la raison est inférieure à -1, alors les termes de la suite sont successivement positifs et négatifs tout en prenant des valeurs de plus en plus éloignées de 0 de part et d’autre : la suite n’a pas de limite.

Pour vous tester, voici deux QCM (pour les premières L, STL, ES et S) :
- Qcm sur les suites numériques (TES, STL,S)
- Qcm sur les suites numériques (L)


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par ffred - le 29 mars 2004 -


  • > Somme et variations des suites géométriques, le 11 février 2005, par Coul

    Très bonne methode, mes sincères félicitations



    • > Somme et variations des suites géométriques, le 9 août 2005, par debil lol

      comment calculer la somme de la suite suivante svp :
      100+200+300...+10000.
      q = 100 et nb de termes 100.
      ca doit donner le calcul suivant jcrois :
      1(1-100100)/(1-100)

      Avec le calcul je tombe sur un trop gros nombre et ne sais pas la raison pour laquelle le resultat est faux.
      merci pour vos reponses.





    • > Somme et variations des suites géométriques, le 18 septembre 2005, par Sidness

      Ta suite est arithmétique et non pas géométrique, t’as tout simplement pas la bonne formule.



    • Non non, le 18 septembre 2005, par marco

      ce n’est pas une suite géométrique !!! mais une suite arithmétique de raison q=100. Dsl mais je ne rappelle plus de la formule de sommation d’une suite arithmétique. ;)



    • > Somme et variations des suites géométriques, le 22 novembre 2005, par Mapes

      Ceci n’est pas une suite geometrique mais une suite arithmétique :

      Sn=100(1+2+..+100)

      en posant Pn=(1+2+..+100)

      On obtient Pn=(100*101)/2 (on trouve la formule par association des termes 2 à 2 : (100+1)+(99+2)+(98+3)...(51+50)=101*50, On a bien 50 fois 101 dans la somme réorganisée.

      Donc Pn=5050.

      Donc Sn=5050*100=505000

      Voilà :) 

       





  • > Somme et variations des suites géométriques, le 22 novembre 2005, par Mapes

    Je pense qu’il serait bon d’informer qu’au passage à la limite (quand n tend vers l’infini) la somme Sn des termes d’une suite géometrique, de raison q de premier terme p, est :

    si |q|<1 Sn= p*1/(1-q).

    si q=1         Sn= p

    si q=-1 Sn=-p

    sinon c’est pas au programme  





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