La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Dernier devoir avant l’examen.... Durée : 4 h

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Exercice I

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ) (unité graphique : 2 cm )
On note A le point d’affixe .

Résoudre dans l’équation : .
On note et les solutions, étant celle dont la partie imaginaire est positive.
a) Placer le point A et les points B et C d’affixes respectives et .
b) Prouver que .
c) Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle.
Soit A’ le point d’affixe .
a) Montrer que . Calculer un argument de .
b) En déduire que A’ est l’image de A par la rotation R de centre O et d’angle .
c) Soient B’ et C’ les images respectives de B et C par R. Calculer les affixes de B’ et C’, en donnant chaque fois la partie réelle et la partie imaginaire.
d) Placer les points A’, B’ et C’ dans le repère ( ).
Quelle est la nature du triangle A’B’C’ ? Justifier la réponse.


Exercice II

Une machine fabrique en série des tiges métalliques de forme cylindrique. Une tige peut présenter l’un des deux défauts suivants :
Défaut D1 : le diamètre n’est pas conforme
Défaut D2 : la longueur n’est pas conforme

Sur le lot L de 100 tiges, les informations suivantes sont données :
8 tiges présentent le défaut D1
6 tiges présentent le défaut D2
2 tiges présentent simultanément les défauts D1et D2

1/ Calculer le nombre de tiges du lot L qui :
a) ne présentent que le défaut D1
b) ne présentent que le défaut D2
c) ne présentent ni le défaut D1, ni le défaut D2

2/ On tire au hasard une tige dans le lot L. Chacune des tiges ayant la même probabilité d’être tirée :
a) déterminer la probabilité de l’événement A : «  la tige choisie présente les deux défauts » .
b) montrer que la probabilité de l’événement B : «  la tige choisie présente un des deux défauts et un seul » est égale à 0,1.
c) déterminer la probabilité de l’événement C : «  la tige choisie ne présente aucun des deux défauts  ».
d) soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage d’une tige associe le nombre de défauts présentés par cette tige.
Quelles sont les valeurs prises par X ?
Quelle est la loi de probabilité de X ?
Calculer l’espérance mathématique E (X) de la variable X.

Problème


Partie A - Questions préliminaires

Soit g la fonction définie sur l’intervalle par :

1/ a) Déterminer la limite de la fonction g en .
b) Calculer g ’ (x) et étudier son signe, pour x appartenant à .
Dresser le tableau de variation de la fonction g.
2/ En utilisant ce qui précède, montrer que, pour tout x appartenant à , g (x) < 1.


Partie B - Etude et représentation graphique d’une fonction

Soit f la fonction définie sur l’intervalle par :

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( unité graphique : 4 cm ).

1/ a) Déterminer la limite de la fonction f en 0.
En déduire l’existence d’une asymptote à la courbe C.
b) Déterminer la limite de la fonction f en .
c) Montrer que . En utilisant la question A 2/ , montrer que, pour tout x appartenant à , f ’(x) > 0.
d) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
2/ Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique, notée , dans .
Montrer que 0,5 < < 0,6.
Donner une valeur approchée à près de .
3/ Tracer la courbe C dans le repère .

Partie C - Calcul de primitives et d’aire

Soit G la fonction définie sur par G (x) = xlnx - x
1/ Calculer G ’ (x).
En déduire les primitives de f sur .
2/ Calculer la primitive de f qui s’annule pour x = 1.
3/ Calculer l’aire, en cm, du domaine délimité par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = 2.

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par M.G. - le 21 mai 2005 -

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