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La qualité et la précision de la rédaction ainsi que la propreté seront prises en compte lors de l’appréciation de la copie.

Exercice I
On considère l’expérience aléatoire suivante :
- une première urne contient 5 boules numérotées 0, 2, 4, 6, 8.
- une deuxième urne contient 5 boules numérotées 1, 2, 3, 4, 5.
On appelle partie le fait de tirer au hasard une boule de la première urne, puis une boule de la deuxième. Une partie a donc 25 résultats possibles, supposés équiprobables.
1/ a) Recopier puis compléter le tableau donnant la somme des deux nombres obtenus pour chacun des résultats possibles :

+	0	2	4	6	8
1
2
3				9
4		6
5

b) Quelle est la probabilité d’obtenir pour une partie une somme égale à 7 ?
c) Quelle est la probabilité d’obtenir pour une partie une somme paire ?
d) Quelle est la probabilité d’obtenir pour une partie une somme au plus égale à 6 ?
2/ On considère le jeu suivant associé à chaque partie. Un joueur gagne :
3 euros si la somme est paire
10 euros si la somme est treize
1 euro si la somme est 1, 3 ou 5
rien dans les autres cas.
On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe son gain en euros.
a) Calculer la probabilité de gagner 10 euros.
b) Donner sous forme de tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
c) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.
d) L’organisateur demande 2 euros pour obtenir le droit de jouer. Ce jeu est-il équitable ?

Exercice II
1/ Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation d’inconnue z :
.
2/ On considère les nombres complexes :
, , et .
a) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes et .
b) Montrer que .
3/ Les nombres complexes , , et sont les affixes respectives des points A, B, C et D dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal ( unité graphique : 2 cm )
a) Construire les points A, B, C et D.
b) Justifier que les droites (AB) et (CD) sont parallèles et démontrer que AC=BD.
c) Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? ( le justifier )
d) Justifier que les points A, B, C et D sont sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon.

Problème
Partie A
Soit g la fonction définie sur l’intervalle par : .
1/ a) Calculer et étudier son signe sur .
b) Dresser le tableau de variations de g ( sans les limites ).
2/ En déduire que, pour tout réel x appartenant à , est strictement négatif.

Partie B
Soit f la fonction définie sur par .
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal du plan ayant pour unités graphiques : 5 cm pour l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.
1/ a) Etudier la limite de la fonction f lorsque x tend vers 0. En déduire l’existence d’une asymptote que l’on précisera.
b) Etudier la limite de la fonction f lorsque x tend vers .
c) Démontrer que pour tout x appartenant à , . En déduire le signe de sur et dresser le tableau de variations de f sur .
2/ a) Soit D la droite d’équation . On considère la fonction h définie sur par .
Démontrer que D est asymptote à la courbe C.
b) Calculer les coordonnées du point d’intersection de C et D.
c) Etudier la position de C par rapport à D.
3/ a) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point A d’abscisse 1.
b) Tracer dans le repère considéré la tangente T, les asymptotes et la courbe C.
4/ Démontrer qu’il existe un seul réel de l’intervalle tel que . Donner un encadrement de d’amplitude .

Partie C
1/ Montrer que la fonction L définie sur par est une primitive sur de la fonction l définie par .
En déduire les primitives de f sur
2/ Déterminer la primitive de f qui s’annule quand x vaut 1.

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par M.G. - le 21 mars 2005 -

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