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Devoir surveillé sur une étude de fonction pour les élèves de Terminale S


DS2_ts

On considère la fonction f définie sur par : .
Soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( unité : 2 cm )

Partie A/ Etude d’une fonction auxiliaire

Soit la fonction g définie sur par : .
a) Dresser le tableau de variation de g.
b) Montrer qu’il existe un réel unique tel que . Donner un encadrement d’amplitude du réel .
c) En déduire le signe de suivant les valeurs de x.

Partie B/ Etude de la fonction f

1/ Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.
2/ a) Montrer que pour tout réel x, .
b) Etudier le sens de variation de la fonction f .
c) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
3/ a) Montrer que pour tout réel x, .
b) En déduire que la courbe C admet une asymptote oblique D aux voisinages de et .
c) Etudier la position de la courbe C par rapport à D.
d) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 1.
e) Tracer les droites D et T ainsi que la courbe C.

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par M.G. - le 8 novembre 2004 -


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