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Etude d’une fonction de degré 2 (1ere S)


fonctions2

Etude d’une fonction du second degré:

Nous allons étudier une fonction du seconde degré qui se caractérise par la forme avec a non nul bien sûr.

On prend par exemple :

On sait du programme de seconde :

-que sa courbe sera une Parabole.
-qu’elle admet soit un maximum soit un minimum
-qu’elle change de croissance ( soit croissante puis décroissante, soit décroissante puis croissante)
-qu’elle ne passe pas obligatoirement par zéro.

Avec la calculatrice, en traçant le graphe de f, on constate que
- Cf est bien une parabole (on ne s’est peut-être pas trompé en entrant la formule dans la calculatrice)
-f admet un maximum global 6 en 1,2 ( par lecture graphique )
-f est croissante sur ]-oo; 1,2] puis décroissante sur [1,2; +oo[
-f passe par 0 en x1 = -0,5 et x2= 3 ( par lecture graphique)

Il nous faut donc prouver tout cela avec l’analyse numérique :

1) Il faut dériver f après avoir dit sur quel ensemble elle est dérivable
2) Il faut faire un tableau de signe de la fonction dérivée, le tableau de variation de f et déterminer les limites de f.
3) Il faut vérifier le maximum dans le tableau de variation
4) Il faut calculer les abscisses des points d'intersection de la courbe Cf et de l’axe des abscisses

1) Calcul de la dérivée f’(x) :

La fonction f est dérivable sur IR car :
- elle est la somme de fonctions dérivables sur IR
-
ou elle est une fonction polynôme qui est toujours dérivable sur IR.

On a
sur IR.

2) Tableau de signes et Tableau de variation :

donc f’(x) est positive ou nulle lorsque ( nulle lorsque )

Lorsque x est grand alors f(x) est infiniment petit,
Lorsque x est petit alors f(x) est infiniment petit ,

On dit que possède les mêmes limites en l’infini que
D’une manière générale : On dit que possède les mêmes limites en l’infini que.

Vérification :

3) Il faut vérifier le maximum dans le tableau de variation


f est croissante sur l’intervalle ]-oo; ] ( Par lecture graphique, on a dit que f est croissante sur ]-oo; 1,2] )
f est décroissante sur l’intervalle [; +oo[ ( Par lecture graphique, on a dit que f est décroissante sur l’intervalle [1,2; +oo[)
Donc f admet pour maximum global pour x= (on a dit que f admet un maximum global 6 en 1,2 )

4) Calculer des points d'intersection de Cf et de l’axe des abscisses


Pour cela , il faut résoudre l’équation f(x)=0
On peut utiliser au choix la méthode de mise sous forme canaonique ou du disciminant.

Par la mise sous forme canonique de f(x) on obtient :

En utilisant la méthode du discriminant , on obtient :


On a donc f(x)=0 possède deux solutions
et

On remplace par les valeurs et on trouve et .

Donc.

Les points d’intersection de Cf avec l’axe des abscisses sont donc A(-0,5; 0) et B(3;0).

Vérification :

Les résultats obtenus par le calcul sont conformes aux informations trouvées sur le graphique.


Notre étude est terminée , nous avons utilisé :
- les formules de dérivations
- un tableau de signes
- un tableau de variation
- le graphique de la calculatrice
- le discriminant
- la forme canonique

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par ffred - le 15 mars 2003 -


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