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Etude d’une fonction polynôme de degré 3 (1S)


DS7_1S3

Étude d’une fonction polynôme du 3eme degré :

Sujet

Soit f la fonction définie sur par [-2; 0,5]
1) Réaliser le tableau de variations de f sur [-2; 0,5] en étudiant le signe de la dérivée.2) A partir du tableau de variations de f, montrer qu’il existe trois solutions à l’équation f(x)=0 sur [-2; 0,5]
3)
Indiquer les extrema de f sur [-2; 0,5] (on donnera une valeur approchée à 10-2 près)
4) Montrer que f(-2)=0 et factoriser f(x)
5) Résoudre f(x)=0 dans [-2; 0,5]
6) Déterminer les équations des tangentes D1 en 0 et D2 en
7) Dans un repère orthonormé ( en prenant 1 cm pour 1 unités) tracer D1, D2 puis Cf sur [-2; 0,5] en s’aidant des questions
précédentes.


Corrigé
Soit f la fonction définie sur [-2; 0,5] par
1) Réaliser le tableau de variations de f sur [-2; 0,5] en étudiant le signe de la dérivée.
f est une foncrtion dérivable sur [-2 ; 0,5] et sa fonction dérivée est telle que :
et donc f ‘(x) = 0 possède deux solutions dans IR :
et
On obient donc le tabeau suivant :

avec f(x2) =0,392 et f(x1)= - 3,889

2) A partir du tableau de variations de f, montrer qu’il existe trois solutions à l’équation f(x)=0 sur [-2; 0,5]

On a f(-2)=0 donc -2 est la première solution.
f est décroissante sur [x2 ; x1] et f(x2) est positif (0,392) et f(x1) est négatif (- 3,889) donc la courbe de f passe par 0 entre ces
deux valeurs : c’est la deuxième solution
f est croissante sur [x1, 0,5] et f(x1) est négatif et f(0,5) est positif donc la courbe de f repasse par 0 entre ces deux valeurs : c’est
la troisième solution à l’équation f(x)=0

3)
Indiquer les extrema de f sur [-2; 0,5] (on donnera une valeur approchée à 10-2 près)
Le maximum de f sur [-2; 0,5] est 2,5 obtenu pour x=0,5
Le minimum de f sur [-2; 0,5] est f(x1) = - 3,89 .
Attention f(x2) est un maximum local

4)
Montrer que f(-2)=0 et factoriser f(x)
f(-2)=0 (vu dans le tableau de variation) donc on peut mettre (x+2) en facteur dans l’expression de f(x) :

et en identifiant avec la formule on trouve d’où
donc
et si on factorise on trouve et
donc

5) Résoudre f(x)=0 dans [-2; 0,5]
f(x)=0 si et seulement si x = - 2 , x = - 3/2 et x = 1/3 donc
6)
Déterminer les équations des tangentes D1 en 0 et D2 en
L’équation de la tangente en a est y = f ‘(a) (x - a) + f(a) donc
a) on remplace a par 0 et on obtienr f ‘(0) = 5,5 et f(0) = - 3 donc l’équation de la tangente en 0 est y = 5,5 x - 3
b) en on obtient un maximum local , donc l’équation de la tangente est y = f(x2) ( droite parallèle à l’axe des abscisses passant par le maximum local).

7)
Dans un repère orthonormé ( en prenant 1 cm pour 1 unités) tracer D1, D2 puis Cf sur [-2; 0,5] en s’aidant des questions précédentes.

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par ffred - le 19 janvier 2004 -


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