Deux exercices et leurs corrigés sur les fonctions (variations , maximum, équation, résolution graphique d’inéquation) et le cercle trigonométrique (placer des points, calculer des longueurs d’arcs, utiliser sin^2(x)+cos^2(x)=1).

 le sujet
 la correction

Exercice 1 : Etudes de fonctions (voir la correction)
Soient f et g les fonctions définies sur [-4; 2] par f(x) = -1,5(x-1)(x+3) et g(x) = 3x + 4,5.
a) A l’aide de la calculatrice indiquer quel semble être le maximum de f sur [-4 ; 2] (indiquer la méthode).
b) Montrer que f(x) = -1,5(x+1)² +6
c) Montrer que et en déduire le maximum de f en précisant pour quelle valeur il est atteint.
d) A l’aide du tableau de signes de f, résoudre f(x) <0.
e) Faire le tableau de variations de f sur [-4 ; 2 ].
f) Tracer dans le même repère orthonormé ( O , i, j ) les graphiques Cf et Cg.
g) Résoudre par le calcul f(x) = g(x) après avoir développé et factorisé l’équation.
h) Résoudre graphiquement .

Exercice 2 : Cercle trigonométrique. (voir la correction)
a) Sur le cercle trigonométrique placer les points suivants ( les angles étant donnés en radians) :
A tel que IÔA = , B tel que IÔB = , C tel que IÔC = , D tel que IÔD = ,
E tel que IÔE = . F tel que IÔF = .
b.1) Indiquer les coordonnées des points A, B, C et D dans le repère ( O , i, j ).
b.2) Calculer les longueurs des petits arcs d’angles IÔA, AÔB et des grands arcs d’angles CÔD, EÔF en considérant que le rayon du cercle trigonométrique est de 1 mètre.
c) Calculer (sin ( IÔA))² + (cos (IÔA)) ² et (sin ( IÔB))² + (cos (IÔB)) ^{2 en indiquant les calculs effectués.}
d) On a (cos (x))² = 1 - (sin (x))² pour tout x et on donne sin ( )= .
Avec cette formule , calculer le(s) résultat(s) exact(s) possible(s) pour (cos ( ))² puis pour cos ( ) .

Exercice 1 : Etudes de fonctions
Soient f et g les fonctions définies sur [-4; 2] par f(x) = -1,5(x-1)(x+3) et g(x) = 3x + 4,5.
a) A l’aide de la calculatrice indiquer quel semble être le maximum de f sur [-4 ; 2] (indiquer la méthode).

A partir du tracé des fonctions et du tableau de valeurs , je constate que le maximum de f ( Cf parabole en bleu ) semble être 6 obtenu pour x=-1.


b) Montrer que f(x) = -1,5(x+1)² +6
En developpant f(x) donnée dans l’enoncé , on a :

or en developpant l’expression demandée, on a :


c) Montrer que et en déduire le maximum de f en précisant pour quelle valeur il est atteint.
on a sur [-4 ; 2 ] car une expression au carrée est toujours positive ou nulle ( elle est nulle si x=1 )
donc ( en multipliant par un nombre négatif on change le sens de l’inégalité )
or , donc on a .
on peut en déduire que sur [ -4 ; 2 ] et comme (solution unique) alors f admet 6 pour maximum sur [-4 ; 2] obtenu pour x=-1.

d) A l’aide du tableau de signes de f, résoudre f(x) <0.

Par la lecture de la dernière ligne du tableau de signe, l’ensemble des solutions de f(x)<0 est S_IR=[-4 ; -3[U]1 ; 2 ] ( -3 et 1 sont exclues car on recherche les solutions strictement inférieures à zéro )

e) Faire le tableau de variations de f sur [-4 ; 2 ].


f) Tracer dans le même repère orthonormé ( O , i, j ) les graphiques Cf et Cg.


g) Résoudre par le calcul f(x) = g(x) après avoir développé et factorisé l’équation.
on a


h) Résoudre graphiquement


Exercice 2 : Cercle trigonométrique.
a) Sur le cercle trigonométrique placer les points suivants ( les angles étant donnés en radians) :
A tel que IÔA = , B tel que IÔB = , C tel que IÔC = , D tel que IÔD = ,
E tel que IÔE = . F tel que IÔF = .

b.1) Indiquer les coordonnées des points A, B, C et D dans le repère ( O , i, j ).
On rappelle qu’un point M d’angle IÖM=x radians sur le cercle trigonométrique a pour coordonnées M ( cos(x) ; sin(x) )

b.2) Calculer les longueurs des petits arcs d’angles IÔA, AÔB et des grands arcs d’angles CÔD, EÔF en considérant que le rayon du cercle trigonométrique est de 1 mètre.
On rappelle que la longeur des arc est obtenue par la formule : est la mesure del’arc en radians et r le rayon du cercle.
,
,
le petit arc CÔD mesure donc le grand arc mesure ,
le petit arc EÔF mesure donc le grand arc mesure ,

c) Calculer (sin ( IÔA))² + (cos (IÔA)) ² et (sin ( IÔB))² + (cos (IÔB)) ² en indiquant les calculs effectués.
on trouve 1 dans les deux cas en rempaçant par les valeurs du sin et cos trouvés au b.1)

d) On a (cos (x))² = 1 - (sin (x))² pour tout x et on donne sin ( )= .
Avec cette formule , calculer le(s) résultat(s) exact(s) possible(s) pour (cos ( ))² puis pour cos ( ) .

donc on a
En plaçant sur le cercle trigonométrique, on constate que donc la solution est

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par ffred - le 17 avril 2003 -

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• Exercices sur les fonctions et le cercle trigonométrique, le 27 mars 2013, par Truhania
  
  

  Pour l’exercice 1 question b, il y a une démonstration + rapide et + élégante

  soit -1,5(x+1)² +6 je factorise par -1.5 ce qui donne

   1.5[ (x+1)² - 4]
   1.5[ (x+1)² - 2²]

  (x+1)² - 2² -> a²-b² = (a-b)(a+b) (x+1)² - 2² = [(x-1)-(2)][(x-1)+(2)] (x-1-2)(x-1+2) (x-3)(x+1)

   1.5[ (x+1)² - 2²] = -1.5(x-3)(x+1) c.à.d f(x)

  
  
  
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