Deux exercices et leurs corrigés sur les fonctions (variations , maximum, équation, résolution graphique d’inéquation) et le cercle trigonométrique (placer des points, calculer des longueurs d’arcs, utiliser sin^2(x)+cos^2(x)=1).
le sujet
la correction
DM_trigo3
{{{ Sujet }}}
Exercice 1 : Etudes de fonctions (voir la correction)
Soient f et g les fonctions définies sur [-4; 2] par f(x) = -1,5(x-1)(x+3) et g(x) = 3x + 4,5.
a) A laide de la calculatrice indiquer quel semble être le maximum de f sur [-4 ; 2] (indiquer la méthode).
b) Montrer que f(x) = -1,5(x+1)2 +6
c) Montrer que
et en déduire le maximum de f en précisant pour quelle valeur il est atteint.
d) A laide du tableau de signes de f, résoudre f(x) <0.
e) Faire le tableau de variations de f sur [-4 ; 2 ].
f) Tracer dans le même repère orthonormé ( O , i, j ) les graphiques Cf et Cg.
g) Résoudre par le calcul f(x) = g(x) après avoir développé et factorisé léquation.
h) Résoudre graphiquement
.
Exercice 2 : Cercle trigonométrique. (voir la correction)
a) Sur le cercle trigonométrique placer les points suivants ( les angles étant donnés en radians) :
A tel que IÔA =
, B tel que IÔB =
, C tel que IÔC =
, D tel que IÔD =
,
E tel que IÔE =
. F tel que IÔF =
.
b.1) Indiquer les coordonnées des points A, B, C et D dans le repère ( O , i, j ).
b.2) Calculer les longueurs des petits arcs dangles IÔA, AÔB et des grands arcs dangles CÔD, EÔF en considérant que le rayon du cercle trigonométrique est de 1 mètre.
c) Calculer (sin ( IÔA))2 + (cos (IÔA)) 2 et (sin ( IÔB))2 + (cos (IÔB)) 2 en indiquant les calculs effectués.
d) On a (cos (x))2 = 1 - (sin (x))2 pour tout x et on donne sin (
)=
.
Avec cette formule , calculer le(s) résultat(s) exact(s) possible(s) pour (cos (
))2 puis pour cos (
) .
{{{ Correction }}}
Exercice 1 : Etudes de fonctions
Soient f et g les fonctions définies sur [-4; 2] par f(x) = -1,5(x-1)(x+3) et g(x) = 3x + 4,5.
a) A laide de la calculatrice indiquer quel semble être le maximum de f sur [-4 ; 2] (indiquer la méthode).
A partir du tracé des fonctions et du tableau de valeurs , je constate que le maximum de f ( Cf parabole en bleu ) semble être 6 obtenu pour x=-1.

b) Montrer que f(x) = -1,5(x+1)2 +6
En developpant f(x) donnée dans lenoncé , on a :

or en developpant lexpression demandée, on a :

c) Montrer que
et en déduire le maximum de f en précisant pour quelle valeur il est atteint.
on a
sur [-4 ; 2 ] car une expression au carrée est toujours positive ou nulle ( elle est nulle si x=1 )
donc
( en multipliant par un nombre négatif on change le sens de linégalité )
or
, donc on a
.
on peut en déduire que
sur [ -4 ; 2 ] et comme
(solution unique) alors f admet 6 pour maximum sur [-4 ; 2] obtenu pour x=-1.
d) A laide du tableau de signes de f, résoudre f(x) <0.

Par la lecture de la dernière ligne du tableau de signe, lensemble des solutions de f(x)<0 est SIR=[-4 ; -3[U]1 ; 2 ] ( -3 et 1 sont exclues car on recherche les solutions strictement inférieures à zéro )
e) Faire le tableau de variations de f sur [-4 ; 2 ].

f) Tracer dans le même repère orthonormé ( O , i, j ) les graphiques Cf et Cg.

g) Résoudre par le calcul f(x) = g(x) après avoir développé et factorisé léquation.
on a

h) Résoudre graphiquement 

Exercice 2 : Cercle trigonométrique.
a) Sur le cercle trigonométrique placer les points suivants ( les angles étant donnés en radians) :
A tel que IÔA =
, B tel que IÔB =
, C tel que IÔC =
, D tel que IÔD =
,
E tel que IÔE =
. F tel que IÔF =
.

b.1) Indiquer les coordonnées des points A, B, C et D dans le repère ( O , i, j ).
On rappelle quun point M dangle IÖM=x radians sur le cercle trigonométrique a pour coordonnées M ( cos(x) ; sin(x) )

b.2) Calculer les longueurs des petits arcs dangles IÔA, AÔB et des grands arcs dangles CÔD, EÔF en considérant que le rayon du cercle trigonométrique est de 1 mètre.
On rappelle que la longeur des arc est obtenue par la formule :
est la mesure delarc en radians et r le rayon du cercle.
,
,
le petit arc CÔD mesure
donc le grand arc mesure
,
le petit arc EÔF mesure
donc le grand arc mesure
,
c) Calculer (sin ( IÔA))2 + (cos (IÔA)) 2 et (sin ( IÔB))2 + (cos (IÔB)) 2 en indiquant les calculs effectués.
on trouve 1 dans les deux cas en rempaçant par les valeurs du sin et cos trouvés au b.1)
d) On a (cos (x))2 = 1 - (sin (x))2 pour tout x et on donne sin (
)=
.
Avec cette formule , calculer le(s) résultat(s) exact(s) possible(s) pour (cos (
))2 puis pour cos (
) .

donc on a 
En plaçant
sur le cercle trigonométrique, on constate que
donc la solution est 