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D.S de Terminale S : QCM sur les probas, complexes, fonction avec ln et suites, ...


L’usage de la calculatrice est autorisé.
La qualité et la précision de la rédaction ainsi que la propreté seront prises en compte lors de l’appréciation de la copie.


Exercice I

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie ; aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

Partie A
Pour réaliser des étiquettes de publipostage, une entreprise utilise deux banques de données :
, contenant 6000 adresses, dont 120 sont erronées et 5880 sont exactes.
, contenant 4000 adresses, dont 200 sont erronées et 3800 sont exactes.
1/ On prélève au hasard, avec remise, 10 étiquettes parmi les 6000 réalisées à l’aide de . La probabilité qu’exactement trois de ces étiquettes comportent une adresse erronée est :
a)
b)
c)
d)
2/ Parmi les 10000 étiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant que l’étiquette comporte une adresse exacte, la probabilité qu’elle ait été réalisée à l’aide de est :
a)
b)
c)
d)

Partie B
La durée de vie, exprimée en heures, d’un robot jusqu’à ce que survienne la première panne est modélisée par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle ( loi exponentielle de paramètre ). Ainsi la probabilité que le robot tombe en panne avant l’instant t est .
1/ La probabilité qu’un robot ait une durée de vie supérieure à 2500 heures est :
a)
b)
c)
d)
2/ La durée de vie moyenne d’un robot ménager est donnée par la formule .
- L’intégrale est égale à : ( on pourra utiliser une intégration par parties...)
a)
b)
c)
d)
- La durée de vie moyenne des robots, exprimée en heures est :
a)
b)
c)
d)


Exercice II

Partie A : Etude d’une fonction f
On appelle f la fonction définie sur l’intervalle par .
1/ Justifier que f est strictement croissante sur I.
2/ Déterminer la limite de quand x tend vers .
3/ On considère la fonction g définie sur l’intervalle I par .
a) Etudier les variations de g sur I.
b) Justifier que l’équation admet deux solutions : 0 et une autre, notée , appartenant à l’intervalle .
c) En déduire le signe de , pour x appartenant à I.
4/ Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle , appartient aussi à l’intervalle .


Partie B : Etude d’une suite récurrente
On appelle la suite définie par et .
1/ Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, appartient à .
2/ Démontrer par récurrence que la suite est croissante.
3/ Justifier que la suite est convergente.

Partie C : Recherche de la limite de la suite
1/ Montrer que pour tout réel , .
2/ a) Démontrer que pour tout entier naturel n, .
b) En déduire que pour tout entier naturel n, puis à l’aide d’un raisonnement par récurrence que .
c) Quelle est la limite de la suite ?


Exercice III ( pour les non-spécialistes )

Le plan complexe est rapporté au repère . On prendra pour unité graphique 2 cm.
1/ Résoudre dans l’équation : .
Donner les solutions sous forme algébrique puis sous forme exponentielle ( cette dernière étant à justifier ).
2/ Soient A et B les points d’affixes respectives et .
A tout complexe z différent de , on associe le complexe .
a) Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z tels que soit imaginaire pur.
Montrer que B (E).
Déterminer et construire l’ensemble (E). ( on pourra pour ce faire mettre sous forme algébrique ou considérer un argument de )
b) Soit (F) l’ensemble des points M d’affixe z tels que .
Déterminer et construire l’ensemble (F).
3/ Soit R la rotation de centre et d’angle .
a) Calculer l’affixe du point B’ , image de B par R et l’affixe du point I’ , image par R du point .
b) Quelles sont les images de (E) et (F) par R ?


Exercice III ( pour les spécialistes )

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct. On prendra 1 cm pour unité graphique. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives :
; ; ; .
1/ Représenter les points A, B, C et D.
2/ Montrer qu’il existe une similitude directe f telle que et .
Montrer que cette similitude est une rotation et préciser ses éléments caractéristiques.
3/ Soit J le point d’affixe .
Montrer que la rotation R de centre J et d’angle transforme A en D et C en B.
4/ On appelle I le point d’affixe , M et N les milieux respectifs des segments et .
Déterminer, en utilisant les résultats des questions précédentes, la nature du quadrilatère IMJN.
5/ On considère les points P et Q tels que les quadrilatères IAPB et ICQD soient des carrés directs.
a) Calculer les affixes et des points P et Q.
b) Déterminer et ainsi qu’une mesure des angles et . En déduire les éléments caractéristiques de la similitude directe g telle que et .
c) En déduire que J est l’image de M par g. Que peut-on en déduire pour J ?


Exercice IV

Partie A
On considère l’équation différentielle :
(E) .
1/ Résoudre l’équation différentielle (E’) .
2/ a) Montrer que la fonction définie sur par est solution de (E).
b) Montrer qu’une fonction g est solution de (E) si et seulement si la fonction est solution de (E’).
c) En déduire les solutions de (E).
3/ Soit la fonction f définie sur par . Déterminer f de sorte que g soit solution de (E) sur et vérifie .




Partie B
Soit la fonction f définie sur par .
On désigne par C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.
1/ Déterminer les limites de f en et , puis étudier les variations de f.
2/ tracer C.
3/ Pour réel non nul, on pose .
a) Donner le signe et une interprétation graphique de en fonction de .
b) Exprimer en fonction de .
c) Déterminer la limite de lorsque tend vers .



Exercice V ( restitution de connaissance )

On considère deux nombres complexes non nuls z et z’.
1/ Exprimer un argument de en fonction des arguments de z et z’.
2/ Sachant que , démontrer la propriété énoncée précédemment.
3/ Interpréter géométriquement .

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par M.G. - le 11 mai 2005 -


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