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L’usage de la calculatrice est autorisé.
La qualité et la précision de la rédaction ainsi que la propreté seront prises en compte lors de l’appréciation de la copie.

Exercice I ( pour les candidats spécialistes)
On considère les suites et définies par :
.
1/ Montrer par récurrence que les points de coordonnées sont sur la droite dont une équation est .
En déduire que .
2/ Montrer par récurrence que tous les nombres sont des entiers naturels. En déduire que les nombres sont aussi des entiers naturels.
3/ Montrer que :
a) est divisible par 3 si et seulement si est divisible par 3.
b) si et ne sont pas divisibles par 3 alors ils sont premiers entre eux.
4/ a) Montrer, par récurrence, que .
b) En déduire que, pour tout entier naturel , est un multiple de 3.

Exercice I ( pour les candidats non spécialistes)
Pour tout entier naturel n, on considère la suite définie par et .
1/ Calculer et .
2/ Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul , >0 .
3/ a) Montrer que, pour tout entier naturel , a le signe de , puis que a le signe de .
En déduire que <1.
b) En utilisant la fonction auxiliaire ou l’étude du signe de , montrer que la suite est croissante.
c) Que peut-on en déduire ?
4/ Pour tout entier naturel n, soit définie par .
a) Exprimer en fonction de .
b) Déterminer la nature de la suite
c) Exprimer en fonction de et calculer sa limite.
d) En déduire la limite de la suite .


Exercice II ( commun à tous les candidats )

Une compagnie d’assurance automobile fait un bilan des frais d’intervention occasionnés par ses dossiers d’accidents de la circulation.
85 % des dossiers entraînent des frais de réparation matérielle.
20 % des dossiers entraînent des frais de dommages corporels.
Parmi les dossiers entraînant des frais de réparation matérielle, 12 % entraînent des frais de dommages corporels.
Soit les événements suivants :
R : “ le dossier traité entraîne des frais de réparation matérielle”.
D : “ le dossier traité entraîne des frais de dommages corporels”.

1/ En utilisant les notations R et D, exprimer les trois pourcentages de l’énoncé en termes de probabilités ; les résultats seront donnés sous forme décimale.
2/ Calculer la probabilité qu’un dossier :
a) entraîne des frais de réparation matérielle et des frais de dommages corporels ;
b) entraîne seulement des frais de réparation matérielle ;
c) entraîne seulement des frais de dommages corporels ;
d) n’entraîne ni frais de réparation matérielle ni frais de dommages corporels ;
e) entraîne des frais de réparation matérielle sachant qu’il entraîne des frais de dommages corporels.
3/ On constate que 40 % des dossiers traités correspondent à des excès de vitesse et, parmi ces derniers, 60 % entraînent des frais de dommages corporels.
a) Faire un arbre “traduisant” ces données.
b) On choisit un dossier ; quelle est la probabilité que ce dernier corresponde à un excès de vitesse et qu’il entraîne des frais de dommages corporels ?
c) On choisit cinq dossiers de façon indépendante ; quelle est la probabilité qu’au moins un dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels ?

Exercice III ( commun à tous les candidats )

Le plan est muni d’un repère orthonormal . On prendra 2 cm pour unité graphique.
On considère l’application F du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ tel que : .
1/ Soit A le point d’affixe .
Déterminer les affixes des points A’ et B vérifiant respectivement : A’ = F(A) et F(B) = A.

2/ “Construction de l’image de M”.
a) Montrer qu’il existe un unique point invariant ( confondu avec son image ) dont l’affixe est ; on notera ce point et son affixe.
b) Etablir que, pour tout nombre complexe z distinct de , .
Soit M un point distinct de . Comparer MM’ et M et déterminer une mesure de l’angle (). En déduire une méthode de construction de M’ à partir de M.

3/ “Image d’un ensemble de points”
a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble des points du plan dont l’affixe z vérifie .
Vérifier que B est un point de .
b) Démontrer que, pour tout nombre complexe z : .
Démontrer, en utilisant cette égalité et le 3/a) que l’image par F de tout point de appartient au cercle de centre A’ et de rayon 2.
Placer , A, B, A’, et sur une même figure.


Exercice IV ( commun à tous les candidats )

Partie A

On considère la fonction g définie sur par : .
1/ Déterminer le sens de variation de la fonction g.
Dresser son tableau de variation et en déduire le signe de sur .
2/ a) Résoudre dans l’inéquation : .
b) Calculer, en utilisant une intégration par parties, l’intégrale .
c) Interpréter graphiquement les résultats des questions a) et b).

Partie B
On considère la fonction f définie par : . On admettra que la fonction f est continue en 0.

1/ a) Calculer les limites de f en , en .
b) En déduire que la courbe représentative de f admet une asymptote que l’on précisera.
2/ Déterminer le sens de variation de f et dresser son tableau de variation ( on pourra utiliser la partie A ).
3/ Soit C la courbe représentative de la fonction f dans le repère orthogonal
(unités : 4 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées )
a) Recopier et compléter le tableau suivant: ( on arrondira à près )
x

-2

-1,5

-1

-0,5

-0,2

-0,1

-0,05

0,05

0,1

0,2

0,5

1

f(x)

                       


b) Construire la courbe C pour des valeurs de x comprises entre -2 et 1.
4/ La fonction f est définie et continue sur . En supposant qu’elle est dérivable en 0, expliquer comment on peut déterminer graphiquement une valeur approchée du nombre dérivé ; faire cette lecture graphique.
Quel résultat de limite cela permet-il de conjecturer ?



Exercice V : QCM
Pour chaque question du QCM, une seule des quatre propositions est exacte.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée zéro point.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
Répondre sur la copie

1/ L’image dans le plan complexe du nombre complexe appartient à :
l’axe réel
l’axe des imaginaires purs
la droite d’équation
la droite d’équation

2/ Soient , , les solutions complexes de l’équation . On considère , , les images respectives dans le plan complexe de , , . Le triangle est :
rectangle non isocèle
isocèle non équilatéral
équilatéral
autre

3/ Pour toutes fonctions f et g dérivables sur telles que , on a :
sur
sur

autre

4/ Soit F la fonction définie pour tout réel x par avec pour tout réel t , on a :

pour tout réel x,
pour tout réel x,
pour tout réel x,

Exercice VI :
Pour tout entier naturel n, soient et deux suites satisfaisant les conditions suivantes:
- et
- est croissante
- est décroissante
- .
1/ Montrer que la suite de terme général est décroissante. En déduire que, pour tout entier n, .
2/ Montrer que les suites et sont convergentes et admettent la même limite.

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par M.G. - le 12 février 2009 -


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