TSMS - Durée : 1h

- Calculatrice autorisée
- Formulaire autorisé

Exercice I
Partie A
Une entreprise fabrique et vend une quantité x d’objets, elle peut fabriquer au maximum 21 objets. Le coût total de la fabrication de x objets, exprimé en euros, est donné par :
.
Chaque objet est vendu 200 euros.
1/ Pour 10 objets fabriqués et vendus, calculer le coût de fabrication puis la recette ( argent de la vente ) et enfin le bénéfice.
2/ R(x) et B(x) désignent respectivement la recette et le bénéfice pour x objets vendus.
a) exprimer R(x)en fonction de x.
b) Montrer que le bénéfice pour x objets vendus est :
.
3/ On considère la fonction B définie sur par : .
a) Calculer , fonction dérivée de B.
b) Vérifier que pour tout : .
c) A l’aide d’un tableau de signes, étudier le signe de sur l’intervalle . En déduire le tableau de variation de la fonction B.
d) Pour quel nombre d’objets fabriqués et vendus le bénéfice est-il maximum ? Quel est ce bénéfice maximum ?

Partie B
La production est en réalité au moins égale à 6 objets. On étudie donc la fonction B de ce fait sur l’intervalle .
1/ Recopier et compléter le tableau suivant :

x	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
B(x)	-188													566

2/ Représenter la fonction B dans le plan muni d’un repère orthogonal ( 1 cm pour deux unités sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 100 euros sur l’axe des ordonnées ).
3/ Préciser le nombre minimum et le nombre maximum d’objets fabriqués et vendus permettant à l’entreprise de “ne pas perdre d’argent”.
4/ L’entreprise veut avoir un bénéfice d’au moins 1000 euros.
a) Tracer la droite d’équation dans le même repère.
b) Déterminer graphiquement toutes les valeurs possibles de x permettant un tel bénéfice.

Exercice II
Soit f la fonction définie sur par .
Donner une équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 4.

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par M.G. - le 4 janvier 2006 -

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