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Qu’est-ce qu’une suite géométrique ?

I. Qu’est-ce qu’une suite géométrique ?

Comme son nom ne l’indique pas, une suite géométrique est une suite de nombres que l’on obtient en multipliant une constante différente de zéro au précédent (et non une suite de triangles, ou le langage Morse comme on a pu me le suggérer ;-)) :
3 6 12 24 ... est le début d’une suite géométrique dont le premier terme est 3 qu’on multiplie par 2 pour passer au suivant (on appelle ce dernier nombre la raison q )
1 -2 4 -8 ... est le début d’une suite géométrque de raison -2 et de premier terme 1.

On note (Un) la suite et Un le terme au rang n. ( Dans notre premier exemple Uo=3 (c’est le premier terme, U1=6, U2=12 ...) et on a : Un+1=2xUn (le terme suivant est égal au précédent multiplié par 2 )

D’une manière générale, une suite (Un) est géométrque de premier terme Uo et de raison q, si pour tout n , Un+1=q.Un.

II. Comment calculer un terme au rang n ?

La difficulté avec la définition précédente est de pouvoir calculer le terme U25 directement. Tel que la définition le prévoit, il faudrait connaître U24, U23 ...

On a Uo et Un+1=q.Un donc : U1=q.Uo
U2=q.U1=q.q.Uo=q2.Uo
U3=q.U2+r=q.q2.Uo=q3.Uo
...
On en déduit que Un=qn.Uo pour tout n

Avec cette formule, on peut directement calculer U25 de la suite géométrique avec Uo=4 et q=3 On a U25=q25.Uo =325.4=3389154437772

Remarque

Si la suite commence au rang 1, c’est à dire que la suite est définie avec U1 comme premier terme , la formule générale devient : Un=q(n-1)U1

III. Comment démontrer qu’une suite est géométrique ?

Pour démontrer qu’une suite est géométrqiue, nous avons deux possibilités :

  • soit on démontre pour tout n que Un+1/Un=q (un nombre réel)
  • soit on démontre que pour tout n, Un=qn.a ( avec a et q deux réels) et dans ce cas, Uo=a et la raison est q. (Attention, on peut aussi être amené à démontrer que Un=q(n-1).a, le seul changement étant que le premier terme est U1=a)

Exemple : La suite (Un) définie pour tout n, Un=(5x2n)/(3n) est-elle géométrique ?

Si on calcule les premiers termes, on a Uo=5 (on a 20=1 !!), U1=10/3, U2=20/9, on remarque qu’ils représentent le début d’une suite géométrique de raison 2/3 (ce n’est pas suffisant pour démontrer que (Un) est géométrique, il faut le prouver pour tout n )

Avec la première méthode :

Donc pour tout n, Un+1/Un=2/3, donc (Un) est géométrique de raison 2/3 et de premier terme Uo=5

Avec la deuxième méthode :

donc pour tout n, Un=5x(2/3)n, donc (Un) est géométrique de raison 2/3 et de premier terme Uo=5.

Remarque

Pour démontrer qu’une suite n’est pas géométrique, il suffit de vérifier avec les premiers termes que l’on n’a pas Un+1/Un=constante. Cela revient à montrer que U1/Uo est différent de U2/U1


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par ffred - le 17 mars 2004 -


  • > Comment savoir quand on nous donne un excercice si il faut utiliser la suite géométrique ou la suite arythmétique ?, le 15 juin 2005

    Bonjour j’ai un petit probleme, je passe le bac dans pas lontemps et j’ai un soucis sur les suites géométriques et arythmétiques. Comment savoir quand on nous donne un excercice si il faut utiliser la suite géométrique ou la suite arythmétique ? Merci de me répondre au plus vite. A bientôt



    • > Comment savoir quand on nous donne un excercice si il faut utiliser la suite géométrique ou la suite arythmétique ?, le 16 juin 2005, par M.G.

      bonjour. tu peux essayer de "voir" si tu passes d’un terme au suivant en multipliant ou en additionnant toujours ..... bon courage.



    • > Comment savoir quand on nous donne un excercice si il faut utiliser la suite géométrique ou la suite arythmétique ?, le 19 juin 2006, par etudiante ,avec un bac s2

      au fait si une raison t’es donnée,il faut voir d’un terme Un à un terme Un+1 si tu multiplies par la raison ou si tu additionnes la raison.Et si tu additionnes t’es dans le cas d’une suite arithmétique ;mais si tu multiplies t’es dans le cas d’une suite géomètrique.bon courage pour le bac.



  • > Qu’est-ce qu’une suite géométrique ?, le 10 septembre 2005, par linou

    Bonjour, j’aimerai savoir si une suite peut etre géométrique et arithmétique ? Merci d’avance



    • > Qu’est-ce qu’une suite géométrique ?, le 10 septembre 2005, par M.G.

      bonsoir. il existe des suites arithmético-géométriques... ce n’est pas explicitement au programme.. mais on peut travailler en utilisant une suite auxiliaire qui est géométrique...



  • > Qu’est-ce qu’une suite géométrique ?, le 5 mai 2006, par ZL

    bonjour je suis entrain de faire mon dm et je voulais savoir comment faire pour définir la raison d’une suite géométrique ? merci davance ZL



    • Qu’est-ce qu’une suite géométrique ?, le 9 août 2007, par Hélène

      bonjour ! j’ai un exercice et je dois démontrer qu’une suite est géométrique on me dit que w(n)= u(n) + v(n) et le résultat donne \frac{3*(2n)²}{2}

      cela est il égal à 3^(2n) ?

      auquel cas, comment démontrer que 3^(2n) est une suite géométrique ?

      la raison est elle égale à 3 ?

      merci :-)





      • une étape que je comprends pas..., le 19 septembre 2007

        Bonjour,

        Dans le paragraphe qui repond à la question : "Comment démontrer qu’une suite est géometrique ?", Je n’arrive pas à comprendre comment vous arrivez au résultat 2/3, en passant par l’étape( 5*2^n+1*3^n/3^n+1*5*2^n). Merci :)





        • Qu’est-ce qu’une suite géométrique ?, le 2 décembre 2007, par nano

          U1=0.5 U5=8 comment je calcule r merci au secours



          • Qu’est-ce qu’une suite géométrique ?, le 2 décembre 2007, par M.G.

            bonsoir, il doit y avoir une formule qui convient dans ton cours ... bon courage



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