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Qu’est-ce qu’une suite arithmétique ?

I. Qu’est-ce qu’une suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite de nombres que l’on obtient en ajoutant une constante au précédent :
5 7 9 11 ... est le début d’une suite arithmétique dont le premier terme est 5 auquel on ajoute 2 pour passer au suivant (on appelle ce dernier nombre la raison r )
10 6 2 -2 ... est le début d’une suite arithmétique de raison -4 et de premier terme 10

On note (Un) la suite et Un le terme au rang n. ( Dans notre exemple Uo=5 (c’est le premier terme, U1=7, U2=9 ...) et on a : Un+1=Un+2 (le terme suivant est égal au précédent +2 )

D’une manière générale, une suite (Un) est arithmétique de premier terme Uo et de raison r, si pour tout n , Un+1=Un+r.

II. Comment calculer un terme au rang n

La difficulté avec la définition précédente est de pouvoir calculer le terme U25 directement. Tel que la définition le prévoit, il faudrait connaître U24, U23 ...

On a Uo et Un+1=Un+r donc : U1=Uo+r
U2=U1+r=Uo+r+r=Uo+2r
U3=U2+r=Uo+2r+r=Uo+3r
...
On en déduit que Un=Uo+nr pour tout n

Avec cette formule, on peut directement calculer U25 de la suite arithmétique avec Uo=4 et r=3 On a U25=Uo+25r =4+25x3=79

Remarque

Si la suite commence au rang 1, c’est à dire que la suite est définie avec U1 comme premier terme , la formule générale devient : Un=U1+(n-1)r

III. Comment démontrer qu’une suite est arithmétique

Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, nous avons deux possibilités :

  • soit on démontre pour tout n que Un+1-Un=r (un nombre réel)
  • soit on démontre que pour tout n, Un=a+nr ( avec a et r deux réels) et dans ce cas, Uo=a et la raison est r. (Attention, on peut aussi être amené à démontrer que Un=a+(n-1)r, le seul changement étant que le premier terme est U1=a)

Exemple : La suite (Un) définie pour tout n, Un=(4n2-1)/(2n+1) est-elle arithémtique ?

Si on calcule les premiers termes, on a Uo=-1, U1=1, U2=3, on remarque qu’ils représentent le début d’une suite arithmétique de raison 2 (ce n’est pas suffisant pour démontrer que (Un) est arithmétique, il faut le prouver pour tout n )

Avec la première méthode :

Donc pour tout n, Un+1-Un=2, donc (Un) est arithmétique de raison 2 et de premier terme Uo=-1

Avec la deuxième méthode :

donc pour tout n, Un=2n-1, donc (Un) est arithmétique de raison 2 et de premier terme Uo=-1.

Remarque

Pour démontrer qu’une suite n’est pas arithmétique, il suffit de vérifier avec les premiers termes que l’on n’a pas Un+1-Un=constante. Cela revient à montrer que U1-Uo est différent de U2-U1


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par ffred - le 1er mars 2004 -


  • > Qu’est-ce qu’une suite arithmétique ?, le 8 mai 2005, par Germinho

    Si une suite n’est pas arythmetique alor selle est obligatoirement géometrique ?



    • > Qu’est-ce qu’une suite arithmétique ?, le 14 mai 2005, par nono

      Non,

      Les suites arithmétiques et géométriques sont simplement deux types "classiques" de suites.

      arithmétique correspondant à l’ addition

      géométrique à la multiplication

      ainsi comme s’est écrit dans l’article si u2 - u1 est différent de u1 - u0 il est certain que la suite n’est pas arithmétique (mais s’ils sont égaux, on ne peut conclure sur un exemple, il faut calculer que c’est vrai pour tout n)

      si u2/u1 est différent de u1/u0 il est certain que la suite n’est pas géométrique





    • > Qu’est-ce qu’une suite arithmétique ?, le 15 mai 2005

      Bonsoir.

      Et bien non. Elle peut-être ni l’une ni l’autre .

      Par exemple :

      1 4 -3 2 6

      A bientôt.





    • > Qu’est-ce qu’une suite arithmétique ?, le 6 septembre 2006

      une suite n’est pas forcément géométrique ou arithmétique,elle peut etre tout simplement une suite numérique.



  • > Qu’est-ce qu’une suite arithmétique ?, le 14 mai 2005, par nono

    "Une suite arithmétique est une suite de nombres"

    cà c’est un abus de langage, une suite est une application de N (ou d’une partie de N) dans R.

    une suite arithmétique u définie sur N par u(0) et n —> u(n) avec u(n)=u(n - 1)+ r, ce n’est rien d’autre que la restriction à N de la fonction affine x —> r x + u(0)





    • > Qu’est-ce qu’une suite arithmétique ?, le 23 novembre 2006, par sandra

      bonjour,

      est ce que une suite telle que Un= 3n-4 peut etre arithmétique ?





    • > Qu’est-ce qu’une suite arithmétique ?, le 28 novembre 2006

      oui cette suite est une suite arithmetique. demonstration : on sait que pour qu’une suite soit arith. Un+1-Un=k (constant ta suite Un=3n-4 ,sa relation de recurrence est :Un+1=3(n+1)-4 on a :Un+1-Un= 3(n+1)-4-(3n-4) =3n+3-4-3n+4 =3 donc c’est une suite arithmetique de raison r=3



    • > Qu’est-ce qu’une suite arithmétique ?, le 29 novembre 2006

      bonjour j’ai besoin d’aide svp voila g un exercice mais j’ai un probleme avec ma la leçcon je la comprend pas et mon exercise est basé sur le cours alors voila : Soit (Un) une suite arithémtique de raison "r" et (Vn) une suite géométrique de raison "q". "m" et "p" étant deux entiers naturels quelconques, compléter les deux égalités suivantes : Um = Up +(......)r et Vm=Vp Q(......)

      merci de m’aider c’est super urgent !! +++





    • > Qu’est-ce qu’une suite arithmétique ?, le 30 novembre 2006, par M.G.

      bonsoir. tu peux essayer de "voir" la relation en donnant d’abord des valeurs à m et p et en regardant ce que cela donne ... bon courage



    • > Qu’est-ce qu’une suite arithmétique ?, le 28 mars 2008, par bico

      oui la suite Un=3n-4 est une suite arithemétique.car si tu as bien lu ton cours.pourque (Un) soit arithmétique, il faut que : U(n+1) -Un=q tu convient avec moi que U(n+1)=3(n+1)-4 et Un=3n-4 donc U(n+1) - Un = 3(n+1) - 4 - (3n- 4) = 3n+3 -4 - 3n+4 =3 ainsi U(n+1)-Un=q=3 donc (Un)est une suite arithmétique de raison q=3 !

      que c’est beau la mathématique !:-p





  • Qu’est-ce qu’une suite arithmétique ?, le 29 avril 2007

    Bonjour à vous ! Et bien je voulais juste vous remercier pour votre contribution et vos explications clair ! Celà m’a permis d’éclaircir met cours un peu anarchique !



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