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Comment obtenir la forme canonique
On souhaite mettre sous forme canonique l’expression suivante :
f(x) = x2-6x-7 | |
| x2-6x est le début de l’identité remarquable (x-3)2 on a (x-3)2=x2-6x+9 d’où (x-3)2- 9=x2-6x que l’on remplace dans f(x) |
f(x) = (x-3)2- 9-7 | |
| On continue le calcul en conservant la forme (x-3)2 |
f(x) = (x-3)2-16 | |
Informations que nous donne cette expression
f(x) = (x-3)2-16
- pour x=3, on obtient le minimum de la fonction f qui est -16
- la droite d’équation x=3 est axe de symétrie de la courbe de f
- f(x) est factorisable :
- f(x) = (x-3)2-(4)2
- f(x)= (x-3-4)(x-3+4)
- f(x)= (x-7)(x+1)
- f(x)=0 admet deux solutions x=7 et x=-1
Méthode pour des expressions avec a.x2+...
On se place dans le cas où dans l’espression de f(x), on trouve a.x2 (avec a un nombre réel non nul)
f(x) = 2x2+5x-12 | |
| On commence par mettre le 2 en facteur |
f(x) = 2(x2+(5/2)x-6) | |
| Puis en remarquant que x2-(5/2)x est le début de la forme (x-(5/4))2=x2-(5/2)x +(25/16), on la remplace dans l’expression de f(x) sans oublier -25/16 |
f(x) = 2[(x+(5/4))2 -(25/16)-6] | |
| on met sous le même dénominateur et on simplifie tout en conservant la forme (x+(5/4))2 |
f(x) = 2 [ (x+(5/4))2 - (25/16) - (96/16) ] f(x) =2 [ (x+(5/4))2 - (121/16) ]* f(x) =2(x+(5/4))2 - (121/8) | |
Remarques

- Dans ce cas le minimum est - (121/8) obtenu pour x=- (5/4) ( faîtes attention au signe - )
- De la même façon , la droite x=- (5/4) est axe de symétrie de la courbe de f
- Si vous souhaitez factoriser f(x), ne prenez pas la forme canonique finale mais la forme obtenue marquée avec *.
Les différentes formes canoniques
On peut toujours trouver une forme canonique d’une expression du second degré :
f(x) = a.(x-xm)2+ym. Dans ce cas :
- ym est :
- le minimum de la fonction f si a est positif
- le maximum de la fonction f si a est négatif
- la droite d’équation x=xmest l axe de symétrie de la courbe de f si elle est définie sur IR ou sur un ensemble centré en xm.
- si a et ym sont :
- de signes contraires, alors f est factorisable et f(x) =0 admet deux solutions (ou une solution double si ym=0)
- de même signe, alors f n’est pas factorisable et f(x) est soit toujours positive ou toujours négative (en fonction du signe de a)
Exemples

> Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 21 novembre 2004, par Ketchoupy
Je ne sais pas comment mettre a²+ab+b² sous forme canonique.Je ne sais mettre sous forme canonique que des polynômes de la forme : ax²+bx+c !!
PetitKetchoupy@hotmail.com
> Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 28 novembre 2004, par danny
en réponse à ketchoupy :
a²+ab+b² = a²+2ab+b² - ab
a²+2ab+b² c’est l’identité remarquable (a+b)², donc
a²+ab+b² = (a+b)²-ab
pour c’est tout !
> Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 10 septembre 2005, par loli
je n’arrive pas a mettre la fonction f(x)= (x2-5x+1) : 5 sous forme canonique
> Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 11 septembre 2005
j’ai de grosses difficultés en math, je suis bloqué sur un exercice et je n’arrive même pas à le résoudre
"on donne l’expression A(x)=x³+3x²-4"
1. factoriser A(x) en commençant par écrire que :
A(x) = x³-x²+4x²-4
2. En déduire la résolution dans R de l’inéquation :
(x-1)²-2x+2 : x³+3x³-4 >/= 0
je n’essaie pas de gratter les reponses, et si vous pouriez mettre des explications ça serait sympa. Je suis vraiment blocké, j’y ai travaillé toute la journée hier.
Merci d’avance
> Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 11 septembre 2005, par ffred
Bonsoir.
Le seul indice que je peux te donner est de tracer la fonction A(x) sur ta calculatrice.
Tu devrais "voir" qu’il existe un nombre qui est racine de cette fonction polynôme (qui l’annule)
Tu pourras par la suite essayer de factoriser A(x) sous la forme A(x)=(x-a)(x2+bx+c) en utilisant la méthode d’authentification. (où a est la racine de A(x) que tu vois sur le graphique de la courbe de A)
Bon courage !
> Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 25 octobre 2005, par zozo du bourget (93)
je vous remercie beaucoup pour cet effort, vous aidez lzs gens à trouver leur bonheur.
continuez ainsi, vous êtes génial !!
> Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 13 février 2006, par mini-pouss
Nous avons un problème, notre prof de maths nous a donné un DM à faire mais nous ne savons pas ce qu’est la forme canonique...malgrè vos exemples nous ne comprenons toujours pas.
Merci de nous aider :
P(x)= 3(x-1)(x+3)-15
Merci de nous répondre rapidement
toute la classe de 2°
> Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 13 février 2006, par M.G.
bonjour.
pour pouvoir vous "ramener" aux exemples, vous pouvez commencer par développer l’expression ( ou factoriser par 3 avant de développer ... )puis ça devrait aller...
par contre, n’y a-t-il pas d’autres questions de l’énoncé qui peuvent vous éviter l’utilisation du discriminant ?
bon courage.
> Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 2 octobre 2007, par max
tout dabor du développe 3(x-1)(x+3)-15=3x²+6x-24
ensuite tu factorise 3(x²+2x)-24
3((x+1)²-1)-24 car x²+2x est égale a : (x+1)²-1
pour finir tu ne touche pa a (x+1)² mé tu multiplie le -1 par 3
ce ki donne 3(x+1)²-3-24=3(x+1)²-27
voila la forme canonique.
> Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 14 février 2006, par mélaine
je n’arrive pas a trouver la forme canonique de f(x)= -(1/2)x²+x+(3/2)
> Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 15 février 2006, par M.G.
bonjour.
tu peux commencer par factoriser par -1/2 puis faire comme sur les exemples.
bon courage.
> Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 30 mars 2006, par SK
Salut à vous, moi, j’arrive pas à faire mon probleme de maths : il faut faire un enclos avec la plus grande aire possible, avec 1000M de grillage. ça doit etre un rectangle (ou carré) mais l’enclos est a coté dune riviere, donc on ne grillage que 3 cotes... la prof nous a dit de faire ça avec la forme canonique. aidez moi please !!
> Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 31 mars 2006, par M.G.
Bonsoir.
 tu peux commencer par faire un dessin
 tu nommes x la longueur d’un côté, tu déduis la longueur de l’autre en fonction de x
 tu calcules l’aire en fonction de x et tu as du second degré
 tu appliques ensuite le travail vu en cours...
bon courage
> Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 15 octobre 2006, par sem
bonjour,
on me donne 2x²+14w-17 je touvé sa forme canonique 2(x+7/4)²-185/8 je voulais vous demander si c’est bon ?
discriminant, le 23 novembre 2006
Bonjour,
Nous avons compris la technique du calcul du discriminant mais nous voudrions savoir ce qu’est un discriminant ?
Merci
> Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 10 décembre 2006, par Dadou
Je me posais juste une question comme ça, j’ai un DM et je cherche une forme canonique je pense l’avoir trouvé mais lorsque je rentre l’exppression de la forme canonique dans la calculette je n’ai pas la bonne courbe je me demandais donc si les calculettes déterminaient ou non les formes canoniques
( L’expression dont il s’agit :-3x²-9x+84 ; la forme canonique d’après moi :
3((X+(3/2))²- (121/4))
Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 9 septembre 2007, par dreamy- girl
je vs remercie de votre aide , vs venez de m’aider a comprendre mon premier cours de 1ére S merci bcp et continué comme ça vs ete excellent
bisous é bonne poursuite 
Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 7 septembre 2008
Bonjour, je sais comment écrire une fonction trinôme du second degré sous forme canonique, mais je ne sais pas factoriser, après, cette forme canonique. Par exemple, je dois factoriser, si c’est possible, (x-2)² - x ; (x-2)² + 3x ; (x-2)² + (x+1)² - 5 x. Aidez-moi en m’expliquant, s’il vous plait, car je veux comprendre. Merci d’avance.
Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 7 septembre 2008, par M.G.
bonsoir,
tu peux développer ton expression puis ensuite utiliser la forme canonique ...
bon courage
Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 21 janvier 2009, par didi
Bonjou,Voila j’ai un petit souci je narrive pas a comprendre ce que l’on me demande faire et comment je doila faire
exemple je dois determiner le domaine de definition de l(x) : 1
___________
racine de 2 -x é racine de 3+x
Voila aidez moi svp
Merci d’avance
Comment utiliser la forme canonique (2nde - 1ere), le 12 mai 2010, par bmamine
Franchement, un grand merci à ce site qui m’a enfin permis de comprendre comment écrire une équation du second degré en forme canonique ...
Cela m’enlève une sacrée épine du pied 
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