Maths

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Exercice I

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie ; aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

Partie A
Pour réaliser des étiquettes de publipostage, une entreprise utilise deux banques de données :
, contenant 6000 adresses, dont 120 sont erronées et 5880 sont exactes.
, contenant 4000 adresses, dont 200 sont erronées et 3800 sont exactes.
1/ On prélève au hasard, avec remise, 10 étiquettes parmi les 6000 réalisées à l’aide de . La probabilité qu’exactement trois de ces étiquettes comportent une adresse erronée est :
a)
b)
c)
d)
2/ Parmi les 10000 étiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant que l’étiquette comporte une adresse exacte, la probabilité qu’elle ait été réalisée à l’aide de est :
a)
b)
c)
d)

Partie B
La durée de vie, exprimée en heures, d’un robot jusqu’à ce que survienne la première panne est modélisée par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle ( loi exponentielle de paramètre ). Ainsi la probabilité que le robot tombe en panne avant l’instant t est .
1/ La probabilité qu’un robot ait une durée de vie supérieure à 2500 heures est :
a)
b)
c)
d)
2/ La durée de vie moyenne d’un robot ménager est donnée par la formule .
- L’intégrale est égale à : ( on pourra utiliser une intégration par parties...)
a)
b)
c)
d)
- La durée de vie moyenne des robots, exprimée en heures est :
a)
b)
c)
d)


Exercice II

Partie A : Etude d’une fonction f
On appelle f la fonction définie sur l’intervalle par .
1/ Justifier que f est strictement croissante sur I.
2/ Déterminer la limite de quand x tend vers .
3/ On considère la fonction g définie sur l’intervalle I par .
a) Etudier les variations de g sur I.
b) Justifier que l’équation admet deux solutions : 0 et une autre, notée , appartenant à l’intervalle .
c) En déduire le signe de , pour x appartenant à I.
4/ Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle , appartient aussi à l’intervalle .


Partie B : Etude d’une suite récurrente
On appelle la suite définie par et .
1/ Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, appartient à .
2/ Démontrer par récurrence que la suite est croissante.
3/ Justifier que la suite est convergente.

Partie C : Recherche de la limite de la suite
1/ Montrer que pour tout réel , .
2/ a) Démontrer que pour tout entier naturel n, .
b) En déduire que pour tout entier naturel n, puis à l’aide d’un raisonnement par récurrence que .
c) Quelle est la limite de la suite ?


Exercice III ( pour les non-spécialistes )

Le plan complexe est rapporté au repère . On prendra pour unité graphique 2 cm.
1/ Résoudre dans l’équation : .
Donner les solutions sous forme algébrique puis sous forme exponentielle ( cette dernière étant à justifier ).
2/ Soient A et B les points d’affixes respectives et .
A tout complexe z différent de , on associe le complexe .
a) Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z tels que soit imaginaire pur.
Montrer que B (E).
Déterminer et construire l’ensemble (E). ( on pourra pour ce faire mettre sous forme algébrique ou considérer un argument de )
b) Soit (F) l’ensemble des points M d’affixe z tels que .
Déterminer et construire l’ensemble (F).
3/ Soit R la rotation de centre et d’angle .
a) Calculer l’affixe du point B’ , image de B par R et l’affixe du point I’ , image par R du point .
b) Quelles sont les images de (E) et (F) par R ?


Exercice III ( pour les spécialistes )

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct. On prendra 1 cm pour unité graphique. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives :
; ; ; .
1/ Représenter les points A, B, C et D.
2/ Montrer qu’il existe une similitude directe f telle que et .
Montrer que cette similitude est une rotation et préciser ses éléments caractéristiques.
3/ Soit J le point d’affixe .
Montrer que la rotation R de centre J et d’angle transforme A en D et C en B.
4/ On appelle I le point d’affixe , M et N les milieux respectifs des segments et .
Déterminer, en utilisant les résultats des questions précédentes, la nature du quadrilatère IMJN.
5/ On considère les points P et Q tels que les quadrilatères IAPB et ICQD soient des carrés directs.
a) Calculer les affixes et des points P et Q.
b) Déterminer et ainsi qu’une mesure des angles et . En déduire les éléments caractéristiques de la similitude directe g telle que et .
c) En déduire que J est l’image de M par g. Que peut-on en déduire pour J ?


Exercice IV

Partie A
On considère l’équation différentielle :
(E) .
1/ Résoudre l’équation différentielle (E’) .
2/ a) Montrer que la fonction définie sur par est solution de (E).
b) Montrer qu’une fonction g est solution de (E) si et seulement si la fonction est solution de (E’).
c) En déduire les solutions de (E).
3/ Soit la fonction f définie sur par . Déterminer f de sorte que g soit solution de (E) sur et vérifie .




Partie B
Soit la fonction f définie sur par .
On désigne par C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.
1/ Déterminer les limites de f en et , puis étudier les variations de f.
2/ tracer C.
3/ Pour réel non nul, on pose .
a) Donner le signe et une interprétation graphique de en fonction de .
b) Exprimer en fonction de .
c) Déterminer la limite de lorsque tend vers .



Exercice V ( restitution de connaissance )

On considère deux nombres complexes non nuls z et z’.
1/ Exprimer un argument de en fonction des arguments de z et z’.
2/ Sachant que , démontrer la propriété énoncée précédemment.
3/ Interpréter géométriquement .