Devoir surveillé Terminale S :
 arithmétique
 complexes : rotation, images, interprétations géométriques...
 exercice Vrai ou Faux
 suites : génération, représentation graphique, récurrence, convergence
 fonction exponentielle : étude, changement de variable et second degré, courbe, primitive.

L’usage de la calculatrice est autorisé.
La qualité et la précision de la rédaction ainsi que la propreté seront prises en compte lors de l’appréciation de la copie.


Exercice I ( pour les élèves “spécialistes” )

On considère deux entiers naturels, non nuls, x et y premiers entre eux.
On pose et .
1/ a) Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et S.
b) En déduire que S et P sont premiers entre eux.
c) Démontrer que les nombres P et S sont de parités différentes (l’un pair et l’autre impair).
2/ Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant.
3/ Trouver tous les nombres premiers entre eux x et y tels que : .
4/ Déterminer les deux entiers naturels a et b vérifiant les conditions suivantes :
et avec
(On pourra utiliser et avec x et y premiers entre eux.)

Exercice I ( pour les élèves “non spécialistes” )
Le plan est rapporté au repère orthonormal ( unité graphique : 2 cm ).
On considère les points A, B et C d’affixes respectives , et .
1/ Placer ces points sur un dessin.
2/ a) Vérifier que .
b) En déduire la nature du triangle ABC.
c) Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. Tracer le cercle .
3/ On pose .
a) Etablir que l’ensemble des points M d’affixe z qui vérifient est un cercle de centre d’affixe -2. Préciser son rayon. Construire .
b) Vérifier que les points A et B sont éléments de .
4/ On appelle la rotation de centre A et d’angle .
a) Quelles sont les images des points A et B par la rotation ?
b) Construire l’image C’ du point C par la rotation . Calculer l’affixe de C’.
c) Déterminer l’image du cercle par .


Exercice II ( pour tous les élèves )

Répondre aux questions suivantes par VRAI ou FAUX.
Si la réponse est VRAI alors une justification est attendue.
Si la réponse est FAUX alors un contre-exemple peut suffire.
1/ Pour tous nombres réels a et b , .
2/ Pour tous nombres réels a et b , .
3/ Il existe un nombre réel a et un nombre réel b tels que .
4/ Les courbes représentatives des fonctions et ont la même tangente au point .
5/ La fonction définie sur par a pour primitive sur la fonction F telle que .



Exercice III ( pour tous les élèves )

On considère la suite numérique définie sur par :
1/ Soit la fonction f définie sur par .
a) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur .
b) Justifier que pour tout , .
2/ On suppose dans cette question ( et uniquement dans celle-ci ) que .
a) Calculer et .
b) Dans un repère orthonormal ( unité graphique : 8 cm ), tracer sur l’intervalle , la droite d d’équation et la courbe P représentative de la fonction f.
c) Utiliser d et P pour construire sur l’axe des abscisses les points d’abscisses respectives .
3/ On considère a réel quelconque tel que .
a) Montrer par récurrence que pour tout entier n , .
b) Montrer que la suite est croissante.
c) Que peut-on en déduire ?
4/ On suppose à nouveau dans cette question que .
On considère la suite numérique définie sur par .
a) Exprimer en fonction de .
b) En déduire que pour tout entier n, .
c) Déterminer la limite de la suite puis celle de la suite .




Exercice IV ( pour tous les élèves )

On considère la fonction f définie sur par .
1/ Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.
2/ Etudier les variations de f sur .
3/ On désigne par C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthogonal.
a) Déterminer les coordonnées du ( ou des ) point(s) d’intersection de C avec l’axe des abscisses ( on pourra procéder à un changement de variable ...)
b) Tracer la courbe C.
4/ Déterminer l’ensemble des primitives de f sur .

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par M.G. - le 26 janvier 2005 -

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