L’usage de la calculatrice est autorisé.
La qualité et la précision de la rédaction ainsi que la propreté seront prises en compte lors de l’appréciation de la copie.

Exercice I
On considère la fonction f définie sur par et sa courbe représentative dans un repère orthonormal d’unité graphique 1 cm.
1/ Etudier les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. Que peut-on en déduire ?
2/ Déterminer la fonction dérivée de la fonction f et étudier les variations de f .
3/ Dresser le tableau de variation de la fonction f .
4/ Déterminer les réels a et b tels que pour tout x de : .
En déduire que la droite d d’équation est asymptote à .
Déterminer la position relative de par rapport à d.
5/ Déterminer une équation de la tangente à au point d’abscisse 2.
6/ Déterminer les coordonnées des points d’intersection de avec les axes du repère.
7/ Bonus : Déterminer la position relative de avec l’axe des abscisses.
8/ Tracer et les droites intervenant dans les questions précédentes.

Exercice II
Soit la suite définie par : pour tout .
1/ Calculer et .
2/ On considère la suite définie pour tout par .
a) Démontrer que la suite est géométrique, donner la raison et le premier terme de cette suite .
b) Exprimer en fonction de n .
c) En déduire une expression de en fonction de n .
3/ Calculer la limite de la suite . En déduire la limite de la suite .

Exercice III

Afin d’acquérir un bien immobilier, un investisseur doit contracter un emprunt d’un montant de 250 000 euros.

Deux banques A et B lui font des propositions :

1/ La banque A lui propose de rembourser ce prêt sur 20 ans, en 20 annuités ; chacune des annuités est un des termes consécutifs d’une suite arithmétique de premier terme ( montant du premier remboursement ) et de raison .
a) Calculer le montant de chacun des trois versements suivants, c’est à dire et .
b) Quel est le montant du dernier versement, c’est à dire .
c) Quelle est la somme finalement remboursée au bout de 20 ans si l’investisseur choisit la banque A ?

2/ La banque B lui propose aussi de rembourser ce prêt sur 20 ans, en 20 annuités ; le premier remboursement annuel noté est de 13500 euros et les remboursements suivants notés sont chacun en augmentation de 2 % par rapport au remboursement précédent.
a) Calculer et .
b) Préciser par quel calcul on passe de à , puis de à .
c) Montrer que sont les termes consécutifs d’une suite géométrique dont on donnera la raison b .
d) Quelle est la somme finalement remboursée au bout de 20 ans si l’investisseur choisit la banque B ?

3/ Quelle banque est la plus avantageuse pour l’investisseur ?

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par M.G. - le 21 septembre 2004 -

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Le devoir
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La correction

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