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- 1ere : suites numériques

Etude d’une suite définie par récurrence

Dans cet exercice donné en devoir en première S, il vous faut étudier une suite définie par une relation de récurrence, en passant par une autre suite.
-  Le sujet
-  La correction


ds_suites_2004

SUJET :


Soit (Un), la suite définie par
1) Calculer les 5 premiers termes (on gardera les valeurs exactes). Que peut-on conjecturer sur la monotonie de la suite (Un) ? (/1 point)
2) Soir f la fonction telle que ( on considère que Un­-1 pour tout n )
a) Résoudre f(x)=x sur IR-{-1} (/1 point)
b) Etudier les variations de f sur IR-{-1} (on précisera les équations des asymptotes) (/3 points)
c) Tracer la représentation graphique “en chemin” de la suite (Un) après avoir tracé la courbe de f sur
[0 ; 4 ] dans un repère orthonormé (on prendra 2 cm pour 1 unité) (/2,5 points)
d) Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite (Un) ? (/0,5 point)
3) On pose pour tout n
a) Démontrer que (Vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison. (/1 points)
b) Exprimer pour tout n, Vn en fonction de n (/1 point)
c) Déterminer en la justifiant la limite de (Vn) lorsque n tend vers +oo (/1 point)

4) Etude de la limite de la suite (Un)
a) Exprimer Un en fonction de Vn (/1 point)
b) En déduire l’expression de Un en fonction de n (/1 point)
c) Déterminer en la justifiant la limite de (Un) lorsque n tend vers +oo (/1 point)


Correction

Soit (Un), la suite définie par
1) Calculer les 5 premiers termes (on gardera les valeurs exactes). Que peut-on conjecturer sur la monotonie de la suite (Un) ? (/1 point)
Uo = 3 , U1= 0,5 , U2 = 4 / 3 , U3 = 6 / 7 , U4 = 14 / 13 .
La suite (Un) n’est pas monotone.

2) Soir f la fonction telle que ( on considère que Un­-1 pour tout n )
a) Résoudre f(x)=x sur IR-{-1} (/1 point)

en utilisant le discriminant on obtient x = 1 et x = -2


b) Etudier les variations de f sur IR-{-1} (on précisera les équations des asymptotes) (/3 points)
est dérivable sur IR-{-1} et on a donc f ‘ (x) est négative.
On a donc l’axe des abscisses (y=0) est asymptote horizontale à la courbe de f.

On a et donc x = -1 est l’équation de l’asymptote verticale à la courbe de f.

Le tableau de variations de f :


c) Tracer la représentation graphique “en chemin” de la suite (Un) après avoir tracé la courbe de f sur
[0 ; 4 ] dans un repère orthonormé (on prendra 2 cm pour 1 unité) (/2,5 points)




d) Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite (Un) ? (/0,5 point)
On peut conjecturer que la suite (Un) tend vers 1 lorsque n tend vers +oo

3) On pose pour tout n
a) Démontrer que (Vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison. (/2 points)

donc (Vn) est une suite géométrique de raison - 1/2 et de premier terme Vo = 2/5.

b) Exprimer pour tout n, Vn en fonction de n (/1 point)
Vn=0,4 x ( -0,5)n
c) Déterminer en la justifiant la limite de (Vn) lorsque n tend vers +oo (/1 point)
on a car (Vn) est une suite géométrique de raison comprise entre -1 et 1
4) Etude de la limite de la suite (Un)
a) Exprimer Un en fonction de Vn (/1 point)

b) En déduire l’expression de Un en fonction de n (/1 point)

c) Déterminer en la justifiant la limite de (Un) lorsque n tend vers +oo (/1 point)
On a et et donc


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par ffred - le 28 avril 2004 -


  • > Etude d’une suite définie par récurrence, le 23 décembre 2004, par youssou

    je ne comprends pas comment determiner graphiquement u1,u2,u3,et u0.



  • > Etude d’une suite définie par récurrence, le 18 mai 2005

    bonjour, je voudrais savoir ce qu’est la conjecture. Merci



    • > Etude d’une suite définie par récurrence, le 18 mai 2005, par Isbergue

      bonjour j’aurais voulu savoir ce que signifie Monotone et conjecture. Merci bcp !!! ça m’aidera pr mon ds prochain !!!



      • > Etude d’une suite définie par récurrence, le 19 mai 2005, par M.G.

        bonjour. la monotonie d’une suite est "son sens de variation", ainsi elle peut être croissante ou décroissante ( on laisse le cas trivial : constante ). une suite strictement monotone est strict croissante ou strict décroissante. pour la conjecture, cela correspond à l’hypothèse dans d’autres matières, tu dois émettre une possibilité....pour ta suite ou autre ; la plupart du temps tu le démontres ensuite.



      • > Etude d’une suite définie par récurrence, le 25 mai 2005, par lily

        monotone, cé soit tout le temps croissant ou tout le temps décroissant bisous bonne chance



    • > Etude d’une suite définie par récurrence, le 26 mai 2005, par Cédric 974

      salut a tous, donc je suis de l île de la Réunion et je passe sur ce site par le plus grand des hazard lol ! En faite,

      Une conjecture est une proposition que l’on pense être vraie mais qu’on ne sait pas (encore) démontrer. Si la conjecture est un jour démontrée, elle devient un théorème (mais elle pourrait être aussi bien réfutée, sans compter qu’on sait qu’il existe des propositions indécidables, c’est-à dire que l’on sait ni démontrer ni réfuter). Dans une démonstration, les hypothèse (ou les données) , c’est ce que l’on sait, c’est le point de départ à partir du quel on se propose par déduction d’aboutir à une certaine conclusion. On utilise aussi le mot hypothèse, dans les sciences expérimentales , mais dans un autre sens : c’est une explication plausible, provisoirement admise, en attendant d’être réfutée ou confirmée par l’expérience .

      @+





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